“No, lo juro por aquel
que ha transmitido a nuestra alma
que ha transmitido a nuestra alma
la tetraktys en que se encuentran la fuente
y la raíz de la eterna Naturaleza.”
Versos Dorados
Versos Dorados
Exhumar y restituir la antigua aritmética pitagórica es una tarea
difícil vista la escasez de las informaciones que nos han llegado, y cuya mayor
parte no inspiran confianza.
Haría falta en cada momento citar sus fuentes y
discutir su valor, lo que entorpecería y alargaría inútilmente nuestra
exposición sin por ello hacerla más inteligible. Renunciaremos pues a todo
aparato filológico y nos atendremos a aquello que es menos controvertido. Pero
no dejaremos de señalar todo lo que se refiera a nuestra opinión personal o a
los resultados de nuestras investigaciones.
La bibliografía pitagórica antigua y moderna es muy extensa; renunciamos
a enumerar las centenas de libros, estudios, artículos y pasajes que la
constituyen. Para ciertos críticos, historiadores y filósofos, Pitágoras no
habría sido más que un moralista y no se habría ocupado nunca de las
matemáticas; para ciertos hipercríticos, no habría existido nunca.
Personalmente tenemos por cierta su existencia y, aceptando el testimonio del
filósofo Empédocles, su casi contemporáneo, pensamos que sus conocimientos en
todos los dominios de la ciencia eran muy vastos. Pitágoras vivió en el siglo
VII antes de nuestra era; fundó en Calabria una escuela y una Orden que
Aristóteles llamaba escuela itálica y enseñó entre otras la aritmética y la
geometría. Según Proclo, jefe de la escuela de Atenas en el siglo V de nuestra
era, Pitágoras fue el primero que elevó la geometría a la dignidad de ciencia
liberal, y según Tannery, "la geometría salió de la cabeza de Pitágoras
como Minerva del cerebro de Júpiter".
Pero ninguno de sus escritos o de aquellos que le fueron atribuidos nos
ha llegado, y es muy posible que Pitágoras no haya escrito jamás. Incluso si
esto no hubiera sido así, además de que su extrema antigüedad habría podido
impedir la transmisión, no hay que olvidar el secreto que los pitagóricos
hacían pesar sobre su enseñanza o al menos sobre una parte. Un filólogo belga,
Armand Delatte, en su primera obra: Etudes sur la littérature
pythagoricien(París, 1915), ha hecho una sabia crítica de las fuentes de la
literatura pitagórica; ha demostrado, entre otras, que los famosos "Versos
Dorados", aunque debidos a la recopilación de un neo-pitagórico del
siglo II o IV de nuestra era, permiten remontarse casi al comienzo de la
escuela pitagórica, pues transmiten un material arcaico. La obra de Delatte será
nuestra principal fuente. Se posee otros testimonios antiguos en los escritos
de Filolao, de Platón, de Aristóteles y de Timeo de Tauromenio. Filolao fue,
con Arquitas de Tarento, uno de los más eminentes pitagóricos y uno de los más
cercanos, en el tiempo, a Pitágoras. Timeo fue un historiador del pitagorismo,
y el gran filósofo Platón experimentó tan fuertemente la influencia del
pitagorismo que es posible considerarle como un pitagórico incluso aunque no
perteneciera a esta escuela. Los biógrafos de Pitágoras son menos antiguos:
Jámblico, Porfirio y Diógenes Laercio, neo-pitágoricos de los primeros siglos
de nuestra era, y los matemáticos Teón de Esmirna y Nicómaco de Gerasa. Son los
tratados matemáticos de estos dos últimos autores los que nos han transmitido
la aritmética pitagórica. Boecio también ha contribuido a ello. Por último se
deben numerosas informaciones a Plutarco.
Entre los modernos, además de Delatte, la obra un poco desfasada de
Chaignet sobre Pythagore et la philosophie pythagoricienne (París,
2ª edición 1874) y el libro de Augusto Rostagni Il Verbo di Pitagora (Turín
1924), utilizaremos The Theoretic Aritmetic of the Pythagoreans (Londres
1816, 2ª edición Los Ángeles 1934) del erudito helenista inglés
Thomas Taylor que fue un neo-platónico y un neo-pitagórico. Entre los
historiadores de la matemática utilizaremos Le scienze esatte
nellêantica Grecia (Milán, 2ªedición 1914) de Gino Loria, así
como A History of Greek Mathematics de T. Heath (1921).
Para la matemática moderna la unidad es el primer número de la serie
natural de los números enteros, que se obtiene partiendo de la unidad y
añadiendo sucesivamente otra unidad. No es lo mismo en la aritmética
pitagórica. En efecto, la misma palabra mónada, designaba la unidad de la
aritmética y la mónada, entendida metafísicamente diríamos hoy. El paso de la
mónada universal a la dualidad no es tan simple como el paso del uno al dos por
adición de dos unidades.
La aritmética, la pitagórica también, conlleva tres operaciones
directas: la suma, la multiplicación y la elevación a la potencia, acompañadas
de tres operaciones inversas. Ahora bien, el producto de la unidad por ella
misma es también la unidad, y una potencia de la unidad es también la unidad.
Así pues, sólo la suma permite el paso de la unidad a la dualidad. Lo que
significa que para obtener dos, hay que admitir que pueda haber dos unidades,
por consiguiente tener ya el concepto de dos, ya sea que la mónada pueda perder
su carácter de unicidad, que pueda diferenciarse, ya sea que pueda haber una
doble unidad o una multiplicidad de la unidad. Filosóficamente se plantea el
problema del monismo y del dualismo, metafísicamente el del Ser y de su
representación, biológicamente el problema de la célula y de su reproducción.
Ahora bien, si se admite la unicidad intrínseca y esencial de la Unidad, hay
que admitir que otra unidad no puede ser más que una apariencia, y su aparición
una alteración de la unicidad debida a la distinción que la Mónada hace en
sí-misma. Igualmente la consciencia establece una distinción entre el sí y el
no-sí. Según el Vêdânta advaïta (advaïta = sin dualidad) esta
distinción es una ilusión, la gran ilusión incluso, y no hay aquí otra cosa que
hacer sino liberarse de ella. No obstante no es ilusorio que esta ilusión existe,
aún cuando sea posible ir más allá de ella. Los pitagóricos decían que la díada
estaba engendrada por la unidad que se alejaba o se separaba de ella misma, que
se dividía en dos; e indicaban esta diferenciación o polarización mediante
diferentes palabras: diéresis, tolma.
Para la matemática pitagórica, la unidad no era un número, sino el
principio, el arcano de todos los números, digamos el principio y no el
comienzo. Una vez admitida la existencia de otra unidad y de varias unidades,
es de la unidad que van a derivar, por adición, el dos y todos los números. Los
pitagóricos concebían los números como formados y constituidos o representados
por puntos dispuestos de manera diferente. Definían el punto como la unidad
posicionada, mientras que para Euclides el punto es aquello que no tiene
partes. La unidad era representada por el punto (sêmeion = signo) o,
cuando el sistema alfabético de la numeración escrita fue adoptado, por la
letra A o a, que servía para designar a la unidad.
Admitida la posibilidad de la suma de la unidad, se obtiene el dos,
representado por los dos puntos extremos de una recta, y se puede continuar
añadiendo unidades y obtener, sucesivamente, todos los números representados
por dos, tres, cuatro... puntos alineados. Se obtiene de esta manera el
desarrollo lineal de los números. Aparte del dos, que no puede obtenerse más
que por la suma de dos unidades, todos los números enteros pueden ser
considerados como suma de otros números: por ejemplo, cinco es 5 = 1 + 1 + 1 +
1 + 1; pero también 5 = 1 + 4 y 5 = 2 + 3. El uno y el dos no gozan de esta
propiedad general de los números. Es por esto, que, al igual que la unidad, el
dos no era para los antiguos pitagóricos un número sino el principio de los
números pares. Esta concepción se perdió
más tarde, pues Platón habla del dos como "pareja" (1) y
Aristóteles (2) como del único primero número par. Tres a su vez no
puede ser considerado más que como la suma de uno y de dos; mientras que todos
los otros números no son solamente la suma de varias unidades sino también la
de dos partes, ambas diferentes de la unidad. Algunos pueden ser considerados
como la suma de dos partes iguales entre ellas, como dos es la suma de dos
unidades, y, en razón de esta similitud con el dos, (la pareja = ampho), tienen
el nombre de los números pares; así por ejemplo: 4 = 2 + 2 y 6 = 3 + 3, etc.,
son números pares, mientras que los otros, como tres y cinco, no son la suma de
dos partes o de dos términos iguales y se llaman números impares. Así pues la
tríada 1, 2, 3 goza de propiedades que no tienen los números superiores a
3.
En la serie natural de los números, los pares y los impares se suceden
alternativamente. Los números pares tienen en común con el número dos el
carácter que acabamos de mencionar y pueden ser representados siempre bajo
forma de un rectángulo (épipedos) del cual un lado contiene dos puntos,
mientras que los números impares no presentan este carácter, como la unidad, y
cuando pueden ser representados bajo una forma rectangular, a veces la base y
la altura contienen respectivamente un número de puntos que, a su vez, es un número
impar. Nicómaco cita una definición todavía más antigua: salvo la díada
fundamental, un número es par cuando se le puede dividir en partes iguales o
desiguales, ambas pares o impares, o, como diríamos hoy, que tienen la misma
paridad; mientras que los números impares no pueden dividirse más que en dos
partes desiguales, de las cuales una es par y la otra impar, así pues en partes
que tienen una paridad diferente.
Según Heath (3) la distinción entre par e impar se remonta sin duda a Pitágoras, lo que no dudamos en creer. Reidmeister (4) dice que la teoría del par y del impar es pitagórica, y que en esta noción se esconde la ciencia lógico-matemática de los pitagóricos y que es el fundamento de la metafísica pitagórica. Numero impari, dice Virgilio, Deus gaudet ["Dios se complace con el número impar"].
Según Heath (3) la distinción entre par e impar se remonta sin duda a Pitágoras, lo que no dudamos en creer. Reidmeister (4) dice que la teoría del par y del impar es pitagórica, y que en esta noción se esconde la ciencia lógico-matemática de los pitagóricos y que es el fundamento de la metafísica pitagórica. Numero impari, dice Virgilio, Deus gaudet ["Dios se complace con el número impar"].
La tradición masónica está de acuerdo sobre el carácter sagrado o divino
de los números impares, como lo prueban los números que expresan la edad
iniciática, los de las luces, las joyas, los hermanos que componen un taller,
etc. Dondequiera que se presenta una distinción, una polaridad, se tiene una
analogía con la pareja del par y del impar, y puede establecerse una
correspondencia entre los dos polos y el par y el impar; así, para los
pitagóricos el masculino era impar y el femenino par, la derecha impar y la
izquierda era par...
Los números, empezando por el número tres, admiten además de la
representación lineal una representación plana. El número tres es el primero
que admite además de la representación lineal una representación plana, gracias
a los tres vértices de un triángulo (equilátero). El número tres es un
triángulo, o número triangular; es el resultado del acoplamiento de la mónada y
de la díada. Se tiene así con la trinidad la manifestación o la epifanía de la
mónada en el mundo de la extensión. Aritméticamente: 1 + 2 = 3.
Proclo (5) observa que el número dos posee un carácter, en cierta manera, intermediario entre la unidad y el número tres. No solamente porque es la media aritmética de ambos, sino también porque es el único número que da el mismo resultado si se le suma a sí mismo o si se le multiplica por sí mismo, mientras que para la unidad el producto es inferior a la suma, y para el número tres es superior; sea
Proclo (5) observa que el número dos posee un carácter, en cierta manera, intermediario entre la unidad y el número tres. No solamente porque es la media aritmética de ambos, sino también porque es el único número que da el mismo resultado si se le suma a sí mismo o si se le multiplica por sí mismo, mientras que para la unidad el producto es inferior a la suma, y para el número tres es superior; sea
1 + 1= 2 > 1 . 1; 2 + 2 = 4 = 2 . 2; 3 + 3 = 6 < 3 . 3
En cambio los modernos han observado que 1, 2, 3 son los únicos números
enteros positivos cuya suma sea igual al producto. Se puede también fácilmente
reconocer que 1, 2, 3 es la única tríada de números enteros consecutivos en la
que la suma de los dos primeros es igual al tercero; en efecto la
ecuación: x + (x + 1) = x + 2 admite como única
solución: x = 1. Por otra parte, gracias a la representación
geométrica, se ve inmediatamente que la suma de varios números enteros
consecutivos sobrepasa siempre el número que sigue al último de los términos
sumados, salvo en el caso donde se tiene 1 + 2 = 3. Concluyendo, la tríada, la
santa trinidad, no puede obtenerse más que por la suma de la mónada y de la
díada.
Obtenido así el número tres, y considerando la mónada como
potencialmente triangular, se tiene el segundo número triangular; se puede
obtener los otros números triangulares añadiendo a su base el número tres, y se
obtiene el número triangular 6; y continuando añadiendo a su base cuatro
puntos, se tiene el número 10.
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Figura 1
El desarrollo geométrico del primer triángulo, con respecto a uno de los
tres vértices tomado como centro de homotecia, nos da así la serie de los
números triangulares sucesivos. Se llama gnomon triangular a la base que se
añade para pasar de un número triangular al siguiente. Aritméticamente, después
de haber escrito en fila la sucesión de los números enteros, se deduce de aquí
la sucesión de los números triangulares, escribiendo la unidad bajo la unidad,
después haciendo la suma de uno y de dos, después tomando por elemento de la
segunda fila los números obtenidos haciendo sucesivamente la suma de los
primeros números enteros, o bien haciendo, para obtener un elemento de la
segunda fila, la suma del elemento que lo precede en la misma fila con el que
lo precede en la misma columna:
1 2
3 4 5
6 7 8
9 10 11 . . .
1 3 6
10 15 21 28
36 45 55 66 .
. .
Así, por definición, el nenésimo número triangular es la suma
de los n primeros números enteros, y es pues igual al
(nÀ1)enésimo número triangular aumentado en n.
Si el número triangular tres tiene la forma de un triángulo equilátero,
continuando el desarrollo homotético, los otros números triangulares tendrán
también ellos una forma regular, conservándose en el desarrollo la semejanza de
la forma. Además, dado que se puede disponer alrededor de un punto seis ángulos
de 60º (como lo sabían los pitagóricos), se tiene pues seis triángulos
equiláteros convergentes alrededor de un punto; desarrollándolos los seis con
respecto a su vértice común tomado como centro de homotecia, se llena
totalmente e isotrópicamente el plano de triángulos regulares.
El número cuatro, además de su representación lineal, no admite más que
una única representación plana:
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Figura 2
Por consiguiente es un cuadrado; es el segundo cuadrado, porque la
unidad es el cuadrado de uno. El gnomon del cuadrado, o la diferencia entre el
número cuatro que es el segundo número cuadrado y el cuadrado precedente, es 3;
el tercer cuadrado, o, como decimos, el cuadrado de base 3, se representa
geométricamente agregando, abajo y a la derecha, un gnomon compuesto de 5
puntos, y así, sin interrupción, se pasa de un cuadrado al cuadrado siguiente
añadiendo sucesivamente los números impares. Se ve así que los cuadrados crecen
conservando la semejanza de la forma; y, como puede disponerse alrededor de un
punto cuatro ángulos rectos convergentes y en cada uno de ellos un cuadrado,
resulta de aquí que, desarrollando homotéticamente, con respecto al vértice
común tomado como centro de homotecia, los cuatro cuadrados, se llena el plano
totalmente e isotrópicamente gracias a los cuadrados.
Aritméticamente basta escribir en una primera fila los números impares y
proceder para la segunda como en los números triangulares, para obtener los
números cuadrados:
1 3
5 7 9
11 13
15 17 . . .
1 4 9
16 25 36
49 64 81 . . .
De aquí esta importante propiedad: La suma de los n primeros
números impares es igual al n nenésimo número cuadrado, propiedad que
permitió a Galileo encontrar la fórmula del movimiento uniformemente acelerado.
Un cuadrado es un número en forma de rectángulo cuyos lados contienen un
número igual de puntos. Un número de forma rectangular era
llamadoheterómeco si un lado contenía un solo punto de más que el otro
lado, y era llamado promeco si la diferencia entre los puntos de
ambos lados era mayor que uno. Por ejemplo el número 15 es promeco y
el número 20 heterómeco.
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Figura 3
Llevando sobre un lado y paralelamente a una diagonal una línea recta,
ésta divide a un número heterómeco en dos partes que son dos
triángulos rectángulos iguales: y como el número de puntos
del nenésimo heterómeco, constituido por n columnas y
por n + 1 filas, es n (n + 1), resulta para
el n enésimo número triangular la fórmula n (n + 1).
2
Recordando
la definición del número triangular, se tiene:
1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n = n (n + 1)
2
En cambio si se lleva en un número cuadrado la paralela a una diagonal,
éste se divide en dos números triangulares consecutivos; por consiguiente la
suma de dos números triangulares consecutivos es igual a un número cuadrado;
esto permite deducir de la sucesión de los números triangulares la de los
números cuadrados. Escribiendo en una primera fila la sucesión de los números
triangulares, se obtiene en la segunda la de los números cuadrados,
escribiendo debajo de cada elemento de la primera fila la suma de éste con el
elemento que lo precede.
1 3
6 10 15
21 28
36 45 . . .
1 4
9 16 25
36 49
64 81 . . .
Al contrario del número tres, el número cuatro admite también una
representación geométrica espacial. Elevando la perpendicular al plano en el
centro de un triángulo equilátero, ésta tiene un punto igualmente distante de
los tres vértices del triángulo y cuya distancia es igual al
lado del triángulo; los cuatro puntos son los vértices de un tetraedro llamado
pirámide por los griegos (6) o pirámide regular de base
triangular, que es la representación en el espacio del número cuatro [figura 3
bis]**.
Figura 3 bis
En este caso, igualmente, el desarrollo homotético es posible con
respecto a uno de los vértices; se puede pues disponer bajo la base el número
triangular consecutivo y se obtiene así los números tetraédricos. El gnomon del
tetraedro está constituido por el número triangular que se añade al tetraedro
precedente. El primer número tetraédrico es la unidad: el segundo es 4, porque
1 + 3 = 4; el tercero es 10, porque 4 + 6 = 10. Partiendo de una primera fila
compuesta enteramente de unidades, y escribiendo en la segunda fila la sucesión
de los números naturales, en la tercera la de los números triangulares y en la
cuarta la de los tetraédricos, se obtiene la tabla siguiente:
unidad 1 1 1
1 1
1
1
1 1 . . .
números lineales 1 2 3
4 5
6 7
8 9 . . .
números triangulares 1
3 6 10
15 21
28
36 45 . . .
números tetraédricos 1 4
10 20 35 56
84 120 165 .
. .
La ley de formación de esta tabla es la siguiente: todo elemento de la
tabla es igual a la suma de todos los elementos de la fila precedente a partir
del primero hasta el que está directamente encima del elemento considerado; por
ejemplo el número 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1, el número 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5, el
número 35 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15; o: cada elemento es también igual a la suma
del que le precede en la misma fila y del que está encima de él en la misma
columna, por ejemplo el número 35 = 20 + 15.
No existe más que un solo desarrollo lineal de los números. En cambio
existe una infinidad de desarrollos planos y de desarrollos sólidos. Por
ejemplo el número 5 puede representarse en el plano por los cinco vértices de
un pentágono y en el espacio por los de una pirámide de base cuadrada. En
cuanto al desarrollo de los números pentagonales, se lleva a cabo tomando como
centro de homotecia el vértice de la pirámide. Para obtenerlos aritméticamente,
basta con partir de la sucesión de términos de la serie aritmética de razón
tres, sea los números, 1, 4, 7, 10, 13, 16... y sumarlos. La suma de
los n primeros es igual al nenésimo número pentagonal, y
los números pentagonales son: 1, 5, 12, 22, 35, 51... Los números piramidales
de base cuadrada se obtienen en cambio haciendo la suma de
los n primeros números cuadrados consecutivos, 1, 4, 9, 16, 25...; y
son los números: 1, 5, 14, 30, 55... De la misma manera se obtienen los números
hexagonales partiendo de la serie aritmética de razón 4, o serie de gnomons
hexagonales, que son: 1, 5, 9, 13, 17...; y los números hexagonales son: 1, 6,
15, 28, 45... Se reconoce fácilmente que el nenésimo número hexagonal
no es otro que el número (2n À 1) triangular. Se podría mostrar
también que en el desarrollo homotético de los números pentagonales y
hexagonales, se conserva la semejanza de la forma, pero no la isotropía; es por
lo que, aunque el plano permite una repartición en hexágonos regulares, no se
puede cubrirlo completamente e isotrópicamente mediante el desarrollo
homotético de tres números hexagonales convergentes alrededor de un vértice
común. Se puede igualmente demostrar que el espacio no permite equipartición
más que por los cubos cuyos vértices pueden llenarlo totalmente e
isotrópicamente, pero no permite otras equiparticiones, aunque el tetraedro y
el octaedro son desarrollables homotéticamente y cubren
totalmente e isotrópicamente el anguloide en el cual se desarrollan. Hacemos
esta observación porque Aristóteles, después de haber dicho (7) correctamente
que el plano no puede llenarse más que por los triángulos, cuadrados y
hexágonos regulares, añade que el espacio puede llenarse por los cubos y las
pirámides. Se trata de un error en el que Aristóteles ha caído; y, como los
tres números poliédricos regulares, tetraédrico, cúbico y octaédrico,
desarrollados homotéticamente en uno de sus anguloides, lo llenan totalmente e
isotrópicamente, el error de Aristóteles fue haber confundido el espacio con el
espacio del anguloide; pero, si el error viene de una confusión de este tipo,
por otro lado se tiene la prueba indirecta de que los pitagóricos se interesaban
ya en los números cúbicos, tetraédricos y octaédricos, así como en el problema
de la equipartición del plano gracias a los polígonos regulares y del espacio
gracias a los poliedros regulares, y en particular del espacio contenido en un
anguloide. Además de los números planos, llamados números poligonales, y de los
números piramidales representados en el espacio por pirámides de base
poligonal, los pitagóricos se ocuparon de los números planos y sólidos de forma
rectangular, y de los paralepípedos de forma de poliedro regular. La fórmula,
que da el n enésimo número poligonal de r lados, conocida
por Diofanto, es:
P (r, n) = n { ( r À 2) n À ( r À
4) }
2
por ejemplo para n = 4 y r = 6 esta fórmula da para
el cuarto número hexagonal P (6,4) = 28; los puntos que lo representan tienen
la disposición siguiente:
Figura 4
La fórmula que da el nenésimo número piramidal de
base r-gonal es:
F (r , n) = n (n + 1) { (r À
2) n À (r À 5) }
6
que bajo otra forma se encuentra en el Codex
Arcerianus, código romano del 450 de nuestra era (8). Por ejemplo,
para r = 4 y n = 5 se halla que el quinto número piramidal
de base cuadrada es F 4 , 5 ) = 55.
Dado que para delimitar un segmento de recta hace falta dos puntos, el
número mínimo de rectas que sirven para delimitar una porción de plano es tres;
entre todos los números planos, tres es el menor; análogamente el número mínimo
de planos necesarios para delimitar una porción de espacio es cuatro; entre
todos los números sólidos, el número cuatro o el tetraedro es el menor. Según
Platón (cf. Timeo) este tetraedro, o pirámide como él le llama, es la
última partícula que constituye los cuerpos, el átomo o molécula de la materia.
Naturalmente sabemos hoy que los átomos o las moléculas no tienen esta forma y
que no son indivisibles, pero es interesante observar que el
cuerpo que posee la mayor solidez molecular, el diamante, tiene una molécula
compuesta por cuatro átomos dispuestos en forma de tetraedro
regular (9).
Añadiendo la unidad a la unidad, se pasa del punto a la línea,
determinada por dos puntos: añadiendo a estos dos puntos otro punto se puede
pasar al plano con el triángulo; y añadiendo todavía la unidad se puede pasar
al espacio con el tetraedro. Pero permaneciendo en los límites de la intuición
humana del espacio tridimensional no es posible añadir una unidad a los cuatro
vértices del tetraedro tomando un punto fuera del espacio tridimensional y
representar el número 5 como una pirámide del hiperespacio que tenga por base
el tetraedro. En otras palabras, de la unidad se pasa al número dos y se tiene
la línea, del número dos se pasa al número tres y se tiene el plano, del número
tres se pasa al número cuatro y se tiene el espacio; y luego, hay que
pararse, se ha llegado al fin del proceso. Ahora bien, según la acepción
aristotélica, y solamente griega, de la palabra perfección, las cosas son
perfectas cuando están terminadas, completadas; el límite, el fin, es una
perfección. En nuestro caso, como cuatro es el último número que se obtiene
pasando del punto a la línea, de la línea al plano y del plano al espacio,
porque no se puede representar un quinto punto fuera del espacio definido por
los cuatro vértices del tetraedro, el número cuatro es, en el sentido genérico
griego y pitagórico de la perfección, un número perfecto. El conjunto de la
mónada, de la díada, de la tríada y de la tétrada comprende el todo: el punto,
la línea, la superficie y el mundo concreto material sólido; y no se puede ir
más allá. Así pues, también la suma:
1 + 2 + 3 + 4 = 10
ya sea el conjunto, o la tétrada de la unidad, de la dualidad, de la
trinidad y de la tétrada, ya sea la década, es perfecta y contiene el
todo.
Los pitagóricos llamaban tetraktys todo conjunto o suma de
cuatro cosas. Hay diferentes tetraktys, pero la que vamos a estudiar ahora
es la tetraktys por excelencia, la tetraktys pitagórica por
la cual los pitagóricos prestaban juramento. En un fragmento de Espeusipo se
puede leer que el número diez contiene en sí la variedad lineal, plana y sólida
del número, porque 1 es un punto, 2 una línea, 3 un
triángulo y 4 una pirámide (10).
Filón el Judío (11), retomando los conceptos pitagóricos, dice que
cuatro son los límites de las cosas: punto, línea, superficie y sólido, y
Geminus dice que la aritmética está dividida en teoría de los números lineales,
planos y sólidos.
La perfección, o la conclusión de la manifestación universal, se alcanza
con el número diez, que es la suma de los números hasta cuatro. La década contiene
el todo, como la unidad, que contiene el todo potencialmente.
Esta constatación es el resultado del límite puesto al desarrollo de los
números por la tridimensionalidad del espacio, y se llegaría al reconocimiento
de esta propiedad del 4 y del 10, incluso si la numeración de la que hemos
hablado en lugar de ser decimal fuera, por ejemplo, una numeración duodecimal o
de base ternaria. Por lo demás, constatamos la coincidencia. La razón por la
cual la numeración, de la que hemos hablado, griega, latina, italiana,
francesa, etc., es decimal, proviene del hecho de que el hombre posee diez
dedos, lo que es una gran comodidad para contar (contar con los dedos), hasta
el punto de que en la escritura antigua, latina y griega, la unidad era
representada por un dedo, identificado después con la letra I. El último dedo
es el décimo, por consiguiente 10 es perfecto. En las dos escrituras, cinco
tiene una representación especial, en griego la de la inicial de la
palabra penté, en latín la de la palma de la mano abierta, identificada
más tarde con la letra V, pues entre los latinos la escritura de los números
precede al conocimiento y uso del alfabeto. El número 10 está representado en
griego por la letra delta D, inicial de década y que tiene la forma de un
triángulo equilátero, mientras que en latín está representado por las dos manos
abiertas y opuestas, signo que se identificó con la letra X. Estos signos
bastan, en la escritura griega y latina de los números, para representar o
escribir los números hasta cien, representado en griego por la inicial H, de la
palabra hécaton, y en latín por un signo, identificado después con
la inicial de centum, C.
La tetraktys pitagórica, como la numeración hablada, ponen en
evidencia la importancia del número diez por caminos que no tienen nada en
común. Y ésta no es la única concordancia entre los números 4 y 10, ya que la
lengua griega forma los nombres de los números de diez hasta 99 utilizando los
de los diez primeros números, pero introduce un nombre nuevo para indicar 100, otro
para 1000 y finalmente uno nuevo y último para indicar la decena de mil o
miríada. La misma palabra múrioi, pero acentuada diferentemente, indica un
número muy grande, indeterminado. En suma, la lengua griega dispone solamente
de cuatro nombres, después de los nueve, para designar las cuatro primeras
potencias de diez y se para en la cuarta potencia, como la suma de los números
enteros se termina con el número cuatro en la tetraktys.
Una tercera constatación, relativa a la década (y por consiguiente a la tetraktys),
es la siguiente: después de la unidad que es potencialmente poligonal,
piramidal y poliédrica, del género que sea, el primer número que es
simultáneamente lineal, triangular y tetraédrico, y que aparece por
consiguiente en la irradiación de la unidad y en la forma más simple de
manifestación y de concretización de la unidad, es el número diez. Es el primer
número que aparece simultáneamente en las tres sucesiones de los números
lineales, triangulares y tetraédricos:
1 2
3 4
5 6 7
8 9 10
11 ...
1
3 6 10
15 21 ...
1
4 10 20 ...
No se conoce mas que cinco números que gozan de esta propiedad, que son:
1, 10, 120, 1540 y 7140. La determinación de los otros números que son
simultáneamente triangulares y tetraédricos depende de la resolución de la
ecuación que se obtiene haciendo al xenésimo número triangular igual
al yenésimo número tetraédrico, o de la resolución de la ecuación de
tercer grado con dos incógnitas:
x (x + 1) = y (y + 1) (y + 2)
2
6
ecuación de la que se conoce las cinco soluciones:
x
1
4
15 55
119
y
1
3
8 20
34
pero de la cual, la matemática moderna no sabe determinar las otras
soluciones eventuales enteras.
Una cuarta constatación viene de que la letra delta es la cuarta del
alfabeto griego y tiene la forma de un triángulo equilátero. La letra D = delta
es también la cuarta letra del alfabeto etrusco, latino y fenicio y de los
diferentes alfabetos griegos (en uso en diversas épocas); ahora bien, aunque el
orden de las letras de un alfabeto no está determinado por una ley de la
naturaleza, no hay que descuidar esta observación por el valor que podían
atribuirle, si no todos los pitagóricos, al menos algunos. La década es pues el
cuarto número triangular y el tercero tetraédrico, y tiene la forma, en la
escritura de los números, de su inicial, la cuarta letra del alfabeto, que
tiene la forma de un triángulo.
Si se toma el cuarto número triangular, está representado así,
.
. .
. . .
. . . .
|
Figura 5
figura que se encuentra en Teón de Esmirna y en Nicómaco de Gerasa. Esta
figura de la década es un símbolo, en el sentido etimológico de la palabra, por
consiguiente implica varios sentidos. Hay un símbolo que es un triángulo o
número triangular; es el cuarto número triangular, y está compuesto por diez
puntos dispuestos en cuatro filas que contienen respectivamente uno, dos, tres
y cuatro puntos. "Mira, dice Luciano, aquello que
crees que es cuatro es diez, y el triángulo perfecto, y nuestro juramento" (12).
Una quinta constatación muy importante, en general y ciertamente para
los pitagóricos, se tiene con la escala musical. La música moderna utiliza la
escala temperada, que corresponde aproximadamente a la escala natural basada en
el principio de relaciones simples; los griegos, al contrario, utilizaban la
escala pitagórica basada en el principio de quinta. Veremos más adelante el
origen de esta escala; de momento limitémonos a constatar que estas escalas
están, las tres, constituidas por siete notas fundamentales dispuestas en el
orden conocido. Los griegos llamaban a la octava, armonía.
Las notas fundamentales de esta gama, u octava, de la cual, por la ley
de quinta se deduce las otras, son, la primera, la cuarta, la quinta y la
octava; es decir las cuatro cuerdas del tetracordio de Filolao: la primera, la
cuarta o sílaba, la quinta o diapente, y el diapasón. Según la tradición,
Pitágoras había descubierto, por observación y experiencia, que las relaciones
entre la longitud de estas cuerdas y la longitud de la primera estaban
expresadas por las relaciones numéricas 4:3, 3:2, 2:1, así pues por relaciones
entre los números de la tetraktys, que son no solamente relaciones simples
sino las más simples posibles. El tetracordio de Filolao muestra que en el
dominio de la armonía, en el fondo, se vuelve a encontrar 1, 2, 3, 4, los
mismos números que aparecen en la tetraktys.
"Este descubrimiento, escribió Delatte (13), produjo en todos los
espíritus, particularmente en los pitagóricos, un efecto extraordinario que no
podemos apenas apreciar hoy. La tetraktys les daba la llave de los
misterios de la acústica y extendieron a todos los dominios de la física las
conclusiones de este descubrimiento". Este vino a ser uno de los
fundamentos de su filosofía aritmológica y se comprende que hayan podido
considerar la tetraktys como la "fuente y la raíz de la eterna
Naturaleza".
La fórmula poética del juramento pitagórico nos ha sido
transmitida por diferentes autores; y su forma más
corriente y más exacta es la siguiente (14):
"No, lo juro por aquel que ha transmitido a nuestra alma
la tetraktys en que se encuentran la fuente y la raíz de la eterna
Naturaleza". Una variante de esta fórmula se encuentra en los "Versos
Dorados".
El símbolo pitagórico de la tetraktys, en su forma esquemática de
triángulo equilátero, coincide manifiestamente con la forma esquemática del
delta masónico, así como con aquella del delta cristiano, símbolo de la
Trinidad. Esta última asimilación se hace fácilmente, demasiado fácilmente
incluso, sobre todo cuando en el interior está inscrito el ojo del Padre eterno.
El carácter cristiano del símbolo masónico no es tan evidente cuando, como
sucede a menudo, el centro del triángulo se adorna con el tetragrammaton,
el nombre de Dios en cuatro letras, que los cabalistas denominaban por esta
palabra griega; y desaparece totalmente cuando el triángulo está inscrito en la
estrella de cinco brazos, el pentalfa pitagórico, como en el frontispicio de
la Estrella Flamígera del barón de Tschoudy, a quien se le
atribuye el ritual de primer grado del Rito Escocés.
Además, el delta sagrado que, con el sol y la luna, es una de las tres
luces sublimes de la sociedad de los franc-masones, como lo enseña el ritual
del Aprendiz, se encuentra, en los trabajos de primer grado, entre los símbolos
del sol y de la luna, detrás del asiento del Venerable; mientras que en los
trabajos de segundo grado es reemplazado por la Estrella Flamígera. Los años
iniciáticos del Aprendiz y del Compañero corresponden a este cambio. Hay pues
conexión entre los dos símbolos; y, como sin duda alguna la estrella de cinco
brazos es un símbolo característico tanto de la antigua cofradía
pitagórica como de la franc-masonería, la identificación del delta
masónico con la tetraktys pitagórica se halla confirmada. De esto a
decir que la estrella de cinco brazos tiene un carácter cristiano, bastaría con
afirmar que fue ésta la que, según el cuarto Evangelio, se apareció a los tres
Reyes Magos, Melchor, Gaspar y Baltasar; pero el cuarto Evangelio no se
pronuncia sobre este punto; en cuanto a los Evangelios sinópticos, no mencionan
siquiera a los tres Reyes Magos. Ahora bien, como los antiguos documentos
certifican la continuidad de la tradición masónica que se invoca heredera de
Pitágoras, vista la identificación de la masonería con la geometría y la
pretensión de los masones de ser los únicos en conocer los números sagrados,
nos parece que la identificación del Delta masónico con
la tetraktys pitagórica está confirmada por argumentos más sólidos
que su identificación con el símbolo cristiano.
No hay ningún símbolo cristiano entre los símbolos masónicos, ni
siquiera la cruz; por el contrario, -y es natural- hay símbolos de ofiicio y
los símbolos geométricos, arquitectónicos y numéricos. Si el delta masónico
tuviera un carácter cristiano, sería un símbolo aislado, desplazado, del que no
se comprendería la heterogeneidad y la existencia entre los masones. Insistimos
sobre este punto no solamente porque es nuestro deber no dejarnos arrastrar por
simpatías o antipatías ante la seriedad y la claridad de las investigaciones
críticas, sino porque existe al respecto una incomprensión y una ignorancia
seculares y perniciosas, y numerosos rituales, lejos de guiar a los hermanos
hacia la plena inteligencia del simbolismo, contribuyen, de muy buena o mala
fe, a rechazar esta interpretación, indispensable no obstante para penetrar el
sentido puramente masónico.
De cualquier manera, no nos proponemos ni afirmar ni descubrir una
oposición entre la tetraktys pitagórica o delta masónico y el símbolo
cristiano de la Trinidad. La oposición del ternario cristiano al cuaternario
pitagórico fue obra del fanatismo ciego de los cristianos de los primeros
siglos; estaba injustificada porque, como lo veremos, los pitagóricos fueron
admiradores de la tríada, y su costumbre de contar y de venerar en todas las
cosas el número tres los guiaba incluso en la clasificación de los números.
Resumamos: dos no puede obtenerse más que por la suma de dos unidades.
Tres no puede obtenerse más que por la suma de términos de los cuales al menos
uno es la unidad.
A partir de cuatro, todos los números pueden obtenerse por la suma de
dos términos distintos de la unidad. La representación geométrica de los
números en el espacio tridimensional tiene un límite y es perfecta con el
número cuatro; por lo tanto, como la suma 1 + 2 + 3 + 4 = 10 es igualmente la
nueva unidad del sistema de numeración decimal, resulta de esto la perfección
del número cuatro y de la década, así como del símbolo de la tetraktys. Es
por esta razón que los pitagóricos no prestaron atención a los números
superiores a 10, que se expresaban en el lenguaje y en la escritura por diez y
los números precedentes, y es por esto quizás que redujeron a los nueve
primeros números los números superiores a diez, no teniendo en cuenta más que
su raíz o pythmên, es decir sustituyéndoles el resto de su división por
nueve, o el mismo nueve incluso cuando el número era un múltiplo de nueve;
resto que obtenían fácilmente por la regla, muy conocida por otra parte, de la
división por nueve.
Ya que el desarrollo de los números por adición tiene un límite con el
número cuatro, hay que considerar ahora el desarrollo o generación de los
números por multiplicación. Que los pitagóricos hayan recurrido efectivamente a
este criterio de distinción, es cierto, puesto que el número siete era
consagrado y asimilado a Minerva, pues, como Minerva, era virgen y no
engendrado, es decir que no era factor de ningún número (en la década) ni el
producto de factores. Los números se distinguen pues en números que no son
producidos por otros números, sea los números primeros o asintéticos, y en
números que son producidos, o números compuestos o sintéticos. Teniendo en
cuenta sólo los números de la década, los números se subdividen en cuatro
clases: la clase de los números primeros en la década que son factores de los
números de la década; dos (que realmente no es un número) que aparece como
factor de 4, de 6, de 8 y de 10; tres que es factor de 6 y de 9; y cinco que es
factor de 10. La segunda clase está constituida por los números primeros
inferiores a 10 y que no son factores de los números inferiores a 10; está
constituida solamente por el número siete. La tercera clase está constituida
por los números compuestos inferiores a 10 y que son factores de los números
inferiores a diez; está constituida solamente por el número cuatro, que, al
mismo tiempo, es el cuadrado de dos y el factor de ocho. La cuarta clase está
constituida por los números inferiores a 10 y que son productos de otros
números de la década; está constituida por el seis, el ocho y por el nueve,
porque 2 . 3 = 6, 2 . 2 . 2 = 2 . 4 = 8 y 3 . 3 = 9. No
teniendo en cuenta el 10 y teniendo en cuenta el dos, tenemos cuatro números
primeros: 2, 3, 5, 7 de los cuales uno sólo no produce otros números, y cuatro
números compuestos: 4, 6, 8, 9 de los cuales uno sólo es también factor.
Hay que señalar, que este criterio pitagórico de distinción en la
clasificación de los números de la década coincide perfectamente con el
criterio tradicional de distinción al que se ajusta el Vêdânta para la
cuádruple clasificación de los veinticinco principios o tattwas, y con más
precisión: el primer principio (Prakriti) que no es producido pero que es
productivo, siete principios (Mahat, Ahamkâra y los 5 tanmâtras)
que son a la vez producidos y productivos, 16 principios (los 11 indriyas,
comprendido Manas y los 5 bhûtas) que son producciones improductivas,
y por fin Purusha que no es ni producido ni productivo. A este
respecto, volvemos a enviar al lector al libro de René Guénon, El Hombre y
su devenir según el Vêdânta (París, 1925). El mismo criterio es el que
inspira, como lo ha observado Colebrooke (Essais sur la philosophie des
Hindous, traducción Pauthier), la división de la Naturaleza
hecha en el tratado De divisione Naturae de Escoto Erígena,
quien dice: "La división de la naturaleza me parece que debe estar
establecida en cuatro diferentes especies, de las cuales, la primera es lo que
crea y no es creado; la segunda es lo que es creado y crea; la tercera es lo
que es creado y no crea, y, por fin, la cuarta es lo que no es creado y no
crea". Naturalmente no es cuestión de hablar de derivación; de cualquier
manera, Pitágoras precede, cronológicamente, no solamente a Escoto Erígena sino
también a Shankarâchârya. Así queda establecido el carácter tradicional de la
doctrina pitagórica de los números.
Traducción: Miguel Angel Aguirre
* Cap I de Les Nombres dans la Tradition
Pythagoricienne Maçonnique [Los Números en la Tradición Pitagórico
Masónica]. Archè Milano, 1981. Este libro es sumamente importante para
comprender el verdadero significado simbólico del número y la geometría en la
Masonería. De los siete capítulos de que está compuesto hay tres que se
refieren específicamente al simbolismo de los tres primeros grados de aprendiz,
compañero y maestro: el capítulo I (cuya traducción presentamos), el IV y el
VI, respectivamente. Estos dos últimos irán apareciendo próximamente en EL
TALLER. Sobre este libro se hizo una reseña en la revista SYMBOLOS (Nº 9-10,
págs. 420-421), y de la que extraemos lo siguiente: "El autor plantea la
asimilación de la Masonería con la Tradición Hermética y de ambas con la
tradición pitagórica en cuanto se rigen por el número y la geometría, lo que en
la Masonería es evidente. A continuación, de modo magistral pasa a exponer en
siete apretados y sintéticos capítulos su punto de vista poniendo especial
énfasis en el sentido de los números y las figuras geométricas y las
propiedades inmutables que los signan de acuerdo a los pitagóricos, y a la
totalidad de las tradiciones, aun las más arcaicas, agregaríamos nosotros. El
desarrollo es claro y se sigue con toda atención dando posibilidades
indefinidas a aquellos que captan adecuadamente la simbólica encerrada en ello,
directamente relacionada con la potencialidad de la cosmogonía y el estudio de
la forma cósmica como soporte de la meditación y la realización
metafísica". (N. de ed.).
5 Proclo, Comentario a la 20ª
proposición de Euclides, y también Taylor, The Theoretic Arithmetic of
Pythagoreans, 2ª edición, Los Angeles 1924, pág. 176.
6 La palabra griega pyramis es una ligera
corrupción del egipcio pirem-us que designa la altura de la pirámide
(Cf. E. Revillout, Revue Egyptienne, 2º Año, págs. 305-309). La etimología
errónea de pur = fuego, explica por qué el tetraedro es, en Platón, el símbolo
del fuego.
14 Delatte, op. cit., pág. 250.
http://tallermasonico.com/delta.htm
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